九点圆定理的推论（九点圆定理入门图解）

九点圆定理指的是在任意三角形中，三边的中点、三条高的垂足以及垂心与三角形顶点连线的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆，其圆心为三角形的外心与垂心连线的中点，半径为三角形外接圆半径的一半。

九点圆定理的证明方法较多，本文介绍的方法较为简单直观，有助于初学者对该定理的理解和记忆，具体证明过程图解如下。

如图1，设△ABC三边AB、BC、CA的中点分别为N、L、M，三条高AD、BE、CF的垂足分别为D、E、F，垂心为H，HA、HB、HC的中点分别为P、Q、R，则N、F、P、M、E、R、D、L、Q九点共圆。

先连接NP、PR、RL、和LN（图2），根据中位线性质，NP∥BE∥RL，PR∥AC∥LN，故四边形NPRL为平行四边形。

因BE⊥AC，则四边形NPRL为矩形，N、P、R、L四点共圆，

圆的直径为PL（NR），圆心为PL的中点O。

同理，连接PM、ML、LQ和QP，四边形PMLQ为矩形，P、M、L、Q四点共圆，圆的直径同样为为PL（QM），圆心为PL的中点O，故N、P、M、R、L、Q六点共圆（图2、图3）。

在四边形NPDL中，∠PNL+∠PDL=180°，故N、P、D、L四点共圆，直径仍为PL，则N、P、M、R、D、L、Q七点共圆。

在四边形NFPR中，∠NFR=∠NPR=90°，故N、F、P、R四点共圆，直径为NR，圆心为O。

同理，M、E、L、Q四点共圆，直径QM，圆心为O。

故N、F、P、M、E、R、D、L、Q九点共圆成立，九点圆的直径为PL、NR、QM，圆心为矩形NPRL和矩形PMLQ对角线的交点O（图4～图6）。

九点圆除了涉及三角形三边中点和三边高的垂足外，三角形的垂心与各顶点连线的中点（欧拉点）也是关注的重点。这时我们可以联想到以往证明过的一个结论“三角形的垂心到顶点的距离等于它的外心到对边距离的两倍”（详见三角形的四心及经典例题3例）。先作一个△ABC的外接圆（图7），设O´为其圆心，延长AO´交△ABC的外接圆于点G（图8）。

连接O´L，则O´L垂直平分BC，即O´L∥AD。

因O´L=1/2AH=AP，故四边形O´LPA为平行四边形，故LP=O´A=1/2AG，即九点圆的直径等于△ABC的外接圆直径的一半，也就是说，三角形九点圆的半径为三角形外接圆半径的一半。

在△O´OL和△HOP中，O´L=PH，易证△O´OL≌△HOP或点O为平行四边形O´PHL的对角线的交点，则OH=OO´，即九点圆的圆心O位于O´H的中点（图9）。

如连接AL，设AL交O´H于点G´，易证点G´为中线AL的三等分点，即点G´为△ABC的重心（图10），亦即O´、G´、O、H在一条直线上，HG´=2O´G´，O´G´=2G´O，O´H=2O´O。